دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
چکیده:
در این پایان نامه همه حلقه ها یکدار و جابجائی و همه مدول ها یکانی هستند این پایان نامه شامل یک مقدمه و هفت فصل است. فصل اول شامل هدف، پیشینه تحقیق و روش کار می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم شامل خواص اساسی زیر مدول های اول است. فصل چهارم شامل خواص –M رادیکالها است هدف عمده فصل پنجم برهان قضیه زیر می باشد.
قضیه 1: فرض کنیم R یک حلقه باشد. آن گاه R در فرمول رادیکال صدق می کند در صورتی که یکی از شرایط زیر برقرار باشد.
الف) برای هر -R مدول آزاد F,F در فرمول رادیکال صدق کند.
ب) برای هر مدول A، .
ج) R تصویر همومرفیسم S است که S در فرمول رادیکال صدق می کند.
د) برای هر R- مدول A faithful، A در فرمول رادیکال صدق کند.
در فصل ششم R یک دامنه ایده آل اصلی است و A مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است. و هدف عمده فصل ششم و هفتم برهان قضیه زیر می باشد.
قضیه 2: فرض کنیم R یک دامنه ایده آل اصلی و P, A=Rn زیر مدولی از A باشد. آن گاه عبارات زیر هم ارزند.
الف: P جمعوند مستقیم A است.
ب: P بسته است.
ج: اگر آن گاه P اول است و dim P<n .
مقدمه:
در سال 1991 R.L.McCasland و M.E.Moore مقاله ای تحت عنوان رادیکال های زیر مدول ها نوشتند این پایان نامه شرحی است بر مقاله فوق.
فصل اول این پایان نامه شامل هدف و پیشینه تحقیق می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم خواص زیر مدول های اول می باشد. فصل چهارم شامل خواص -M رادیکال ها می باشد.
فصل پنجم با تعریف مفاهیم پوش یک زیر مدول یا E(B) و M-radB شروع شده است. و ارتباط بین زیر مدول های تولید شده توسط آنها با رادیکال زیر مدول ها بررسی شده و همچنین شرایط هم ارزی که یک حلقه می تواند در فرمول رادیکال صدق کند بررسی شده است.
در فصل ششم حلقه R یک حلقه PID و مدول A نیز مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است و نشان می دهیم اگر B زیر مدول A باشد آن گاه اگر و تنها اگر dim B=dim A و در فصل هفتم با تعریف مدول های بسته نشان داده می شود که اگر R دامنه ایده آل اصلی و P , A=Rn زیر مدول A باشد آن گاه شرایط زیر هم ارزند.
1) P جمعوند مستقیم A است. 2) P بسته است. 3) اگر باشد آن گاه P اول است و dim P<n .
فصل اول:
هدف، پیشینه تحقیق و روش کار
هدف:
بررسی خواص اساسی از زیر مدول های اول و خواص -M رادیکالها و هدف نهایی بررسی مفاهیم پوش یک زیر مدول و برهان قضیه 1 و 2 گفته شده در مقدمه و چکیده پایان نامه می باشد.
پیشینه تحقیق و روش کار:
برای گردآوری این پایان نامه از ژورنالهای مختلف ریاضی در گرایش جبر موجود در کتابخانه های معتبر مانند IPM استفاده شده است و هنوز در هیچ کتاب درسی در سطح کارشناسی ارشد و دکترا مفاهیم فوق نوشته و بررسی نشده است.
فصل دوم:
تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف(1-2): مجموعه R همراه با دو عمل دوتائی + و . را یک حلقه گوئیم اگر،
الف) (R , +) یک گروه آبلی باشد.
ب) به ازاء R a,b,c ، a(b c) = (a b)c
ج) به ازاء هر R a,b,c
(قانون توزیع پذیری چپ) a(b+c) = ab+ac
(قانون توزیع پذیری راست) (b+c) a= ba+ca
تعریف(2-2): حلقه R را تعویض پذیر(یا جابجائی) گوئیم هر گاه:
تعریف(3-2): اگر حلقه R نسبت به عمل ضرب دارای عضو همانی باشد آنگاه این عضو را با 1R، یا به طور ساده با 1، نمایش می دهیم و آن را یکه R می نامیم
تذکر: در سراسر پایان نامه R حلقه جابجایی و یکدار فرض می شود.
تذکر: اگر R حلقه ای یکدار بوده و به ازاء هر داشته باشیم ab=ba=1 آنگاه a را یک واحد(یا عضو وارون پذیری) می نامیم.
تعریف(4-2): گوئیم حلقه R بدون مقسوم علیه صفر است هر گاه:
یا
تعریف(5-2): هر حلقه جابجائی، یکدار و بدون مقسوم علیه صفر را دامنه صحیح می نامیم.
تعریف(6-2): زیر مجموعه S از حلقه R یک زیر حلقه R است اگر:
تعریف(7-2): زیر حلقه I از R را ایده آل R نامیم هر گاه:
تعریف(8-2): ایده آل I از حلقه R را، ایده آل سره نامند هر گاه: و می نویسیم :
تعریف(9-2): ایده آل P از حلقه R را ایده آل اول نامند هر گاه:
یا
تعریف(10-2): اگر I یک ایده آل از حلقه R باشد آنگاه:
را حلقه خارج قسمتی R بر I نامند.
تذکر: اگر R جابجائی و یکدار باشد آنگاه نیز جابجائی و یکدار است.
لم(11-2): فرض کنید P ایده آل حلقه R باشد آنگاه:
P ایده آل اول است اگر و تنها اگر دامنه صحیح باشد.
تعریف(12-2): دامنه صحیح D را دامنه ددکنید نامند هر گاه هر ایده آل آن به صورت حاصل ضرب، ایده آلهای اول باشد.
تعریف(13-2): ایده آل سره M از حلقه R را ایده آل ماکزیمال نامند هر گاه M داخل هیچ ایده آل سره از R قرار نگیرد.
تعریف(14-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار باشد. در این صورت R را یک میدان نامیم هر گاه هر عضو ناصفر آن دارای وارون ضربی باشد.
لم(15-2): فرض کنیم R حلقه و M ایده آلی از حلقه R باشد آنگاه:
M یک ایده آل ماکزیمال R است اگر و تنها اگر میدان باشد.
تعریف(16-2): فرض کنیم X زیر مجموعه ای از حلقه R باشد. فرض کنیم خانواده همه
ایده آلهای R شامل X باشد. آنگاه را ایده آل تولید شده توسط X نامیده و با علامت(X) نمایش
می دهند.
تذکر: علامت X مولدهای ایده آل(X) نامیده می شود.
اگر در این صورت گویند(X) یک ایده آل متناهیا تولید شده است.
تذکر: در حالت خاص وقتی که X={a} باشد داریم:
تعریف(17-2): حلقه R را یک حوزه ایده آل اصلی نامیم هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر ایده آل آن توسط یک عضو تولید شود.
تعریف(18-2): در حلقه R، گوئیم عنصر b,a را می شمارد و می نویسیم a | b هر گاه:
تعریف(19-2): عنصر p را در حلقه R اول گوییم هر گاه:
یا
تعریف(20-2): حلقه R را حوزه تجزیه یکتا گویند هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر عضو آن را بتوان به صورت حاصلضرب متناهی و منحصر بفرد از عناصر اول نوشت.
تعریف(21-2): ایده آل P از حلقه R را یک ایده آل اولیه نامیم هر گاه اولا و ثانیا
تعریف(22-2): فرض کنیم I ایده آل حلقه R باشد. رادیکال ایده آل I را به صورت نمایش می دهند و عبارت است از:
لم(23-2): اگر R یک حلقه و I ایده آلی از حلقه R باشد در اینصورت که در آن P ایده آل اول حلقه R و شامل I است.
لم(24-2): اگر P یک ایده آل اولیه باشد آنگاه رادیکال P یک ایده آل اول است.
تعریف(25-2): فرض کنیم Q یک ایده آل اولیه باشد و داشته باشیم ، آنگاه گوئیم Q یک ایده آل -P اولیه است.
مثال(26-2): در حلقه Z از اعداد صحیح به ازاء هر عدد اول p ایده آل تولید شده توسط p که آن را به صورت(p) نمایش می دهیم یک ایده آل اول است.
مثال(27-2): ایده آلهای (p4) , (p3) , (p2) و ... و ایده آلهای اولیه هستند زیرا:
پس (pn) یک -(p) اولیه است.
تعریف(28-2): عنصر a در حلقه R را خودتوان گوئیم هر گاه a2=a.
تعریف(29-2): ایده آل I از حلقه R را ایده آل رادیکال نامند هر گاه .
تعریف(30-2): فرض کنیم R' . R دو حلقه باشند نگاشت را یک همومورفیسم حلقه نامند هر گاه:
تذکر: اگر f پوشا نیز باشد یک اپی مرفیسم و اگر f یک به یک باشد آنگاه f یک منومورفیسم نامیده
می شود.
تعریف(31-2): اگر f اپی مرفیسم و منومرفیسم باشد آنگاه f یک ایزومرفیسم نامیده می شود.
تعریف(32-2): فرض کنیم R یک حلقه یکدار و M گروهی آبلی باشد. اگر تابعی مانند
موجود باشد به قسمی که در شرایط زیر صدق کند گوئیم M یک -R مدول چپ است.
تذکر: -R مدول راست مشابها تعریف شود.
تعریف(33-2): فرض کنیم M یک -R مدول، و N زیر مجموعه غیر تهی از M باشد در اینصورت گوئیم N زیر مدول M است و می نویسیم هر گاه:
(1
(2
تعریف(34-2): منظور از زیر مدول تولید شده توسط m از -R مدول M، مجموعه ای به صورت زیر است:
تعریف(35-2): فرض کنیم P یک زیر مدول از -R مدول M باشد. گوئیم P زیر مدول سره M است هر گاه باشد.
تعریف(36-2): فرض کنیم R یک حلقه و F یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم F یک -R مدول آزاد است هر گاه خانواده از عناصر F موجود باشد به قسمی که هر عضو F را بتوان به صورت منحصر به فرد از ترکیبات خطی این عناصر نوشت. بعبارت دیگر:
تعریف(37-2): فرض کنیم M و N دو R مدول باشند. در اینصورت نگاشت f از M به توی N را یک همریختی R- مدولی بین M و N نامید هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:
تعریف(38-2): اگر یک همریختی -R مدولهای M و N باشد منظور از هسته f و تصویر f مجموعه هایی به شکل زیر هستند:
لم(39-2): اگر یک همزیختی -R مدولی باشد در اینصورت Kerf , Imf به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند.
قضیه(40-2): فرض کنیم یک همریختی -R مدولی باشد و فرض کنیم A زیر مدول M و B زیر مدول N باشد. در اینصورت f(A) و f-1(B) به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند و بالاخره:
قضیه(41-2): اگر یک اپی مرفیسم باشد در اینصورت تناظری یک به یک بین زیر مدولهای A از M که شامل Kerf هستند و زیر مدولهای B از N برقرار است و این تناظر، حافظ جزئیت است یعنی:
تعریف(42-2): فرض کنیم A یک -R مدول و P زیر مدول آن باشد. گوییم P زیر مدول اول A است هر گاه باشد و برای و از بتوانیم نتیجه بگیریم که .
تعریف(43-2): زیر مدول N از -R مدول M را اولیه نامند هر گاه:
1) N زیر مدول سره M باشد.
2) یا
تعریف(44-2): فرض کنیم R یک حلقه و B یک -R مدول باشد. در اینصورت پوچساز B مجموعه ای به صورت زیر می باشد:
تعریف(45-2): -R مدول M را تابدار گویند هر گاه برای هر عضو مخالف صفر M مثل .
تعریف(46-2): -R مدول M را بدون تاب گوئیم هر گاه برای هر و برای هر ، اگر داشته باشیم rm=0 بتوان نتیجه گرفت که r=0 یا m=0 .
تعریف(47-2): -R مدول M را متناهیا تولید شده گویند هر گاه اعضاء در M موجود باشد به طوریکه هر عضو M را بتوان به صورت ترکیب خطی از این عناصر با ضرایب در R نوشت.
تعریف(48-2): فرض کنیم R حلقه و M یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم M در شرط زنجیری صعودی(A.C.C) برای زیر مدولهایش صدق می کند هر گاه هر زنجیر صعودی از زیر مدولهایش ایستا باشد. یعنی برای هر زنجیر صعودی به صورت زیر:
ی موجود باشد بطوریکه برای هر k که داشته باشیم Mn=Mk .
تعریف(49-2): حلقه R را یک حلقه نوتری می گوئیم هر گاه هر زنجیر صعودی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر:
یک زنجیر صعودی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریکه برای هر داشته باشیم:
تعریف(50-2): حلقه R را آرتینی می گوئیم هر گاه هر زنجیر نزولی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر
یک زنجیر نزولی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریکه برای هر داشته باشیم:
Ak=An
تعریف(51-2): فرض کنیم R یک حلقه و یک خانواده از -R مدولها باشد و {fi} یک خانواده از همریختی های -R مدولی بین Mi و Mi-1 باشد. در اینصورت رشته:
را دقیق گویند هر گاه Imfi+1=kerfi .
تعریف(52-2): -R مدول P را تصویری گویند هر گاه برای هر رشته دقیق مثل و هر همومرفیسم یک همریختی بین P و A مثل موجود باشد به قسمی .
تعریف(53-2): -R مدول M را ضربی گویند هر گاه برای هر زیر مدول N از M یک ایده آل از حلقه R مانند I موجود باشد بطوریکه N=IM.
تعریف(54-2): -R مدول M را یکانی گویند هر گاه برای هر داشته باشیم: .
تعریف(55-2): فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. در اینصورت گویند N جمعوند مستقیم M است هر گاه زیر مدول N' از M موجود باشد به قسمتی که:
تعریف(56-2): -R مدول M را صادق گویند هر گاه AnnM=0.
تعریف(57-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و I ایده آل R باشد. یک تجزیه اولیه برای I بصورت است بطوریکه Qiها، -Pi اولیه باشند. این تجزیه را تجزیه اولیه کاهش یافته نامیم هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:
1) P1، ........، Pn، n ایده آل اول متمایز R باشند.
2) به ازاء هر j=1,2,…..,n داشته باشیم .
قضیه(58-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار بوده و B یک -R مدول باشد که در شرط A.C.C روی زیر مدولهایش صدق می کند. در این صورت هر زیر مدول A از B، یک تجزیه اولیه کاهش یافته دارد.
لم(59-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار و B یک -R مدول باشد در این صورت اگر زیر مدول C از B دارای تجزیه اولیه باشد آنگاه C دارای تجزیه اولیه کاهش یافته است.
لم(60-2): هر -R مدول تصویر همریخت یک -R مدول آزاد است.
برهان: فرض کنیم M یک -R مدول باشد و عناصر M را توسط مجموعه ، اندیس گذاری کرده و بدین ترتیب FM که مجموعه ای به صورت زیر است به عنوان یک -R مدول آزاد در نظر گرفته می شود.
پس هر عضو FM به صورت می باشد که در آن و . اکنون تابع را با ضابطه زیر تعریف می کنیم:
به وضوح خوش تعریف و همریختی پوشا از FM به M می باشد.
لم(61-2)(قانون مدولی ددکیند): فرض کنیم A و B و C زیر مدولهایی از -R مدول M بوده و فرض کنیم باشد. در این صورت داریم:
برهان: ابتدا فرض کنیم در این صورت و .
چون است لذا و موجود است به قسمی که x=b+c. از آنجاییکه است لذا . اما و و A یک زیر مدول است لذا است لذا و می باشد. پس است یعنی .
برعکس: فرض کنیم باشد لذا و موجود است به قسمی که x=b+c اما و از طرفی لذا می باشد. پس و لذا .
تعریف(62-2): را یک مجموعه مرتب جزئی می گوئیم هر گاه سه خاصیت زیر برقرار باشد:
تعریف(63-2): فرض کنیم یک مجموعه مرتب جزئی باشد و یک زیر مجموعه در اینصورت عضو u از را یک کران بالا برای می گویند اگر برای هر ، داشته باشیم .
تعریف(64-2): رابطه روی را مرتب کلی می گوئیم اگر مرتب جزئی باشد و برای هر x و y که در قرار دارند همواره یا .
لم زرن(65-2): فرض کنیم یک مجموعه مرتب جزیی و با ترتیب کلی باشد( دلخواه است)، در این صورت اگر دارای کران بالا در باشد آنگاه دارای عضو ماکزیمال است.
تعریف(66-2): یک -R مدول ساده است هر گاه تنها زیر مدول های M، M,{0} باشند، N زیر مدول ماکزیمال M است اگر و تنها اگر یک -R مدول ساده باشد.
تعریف(67-2): فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. مجموعه از R را با (N:M) نمایش می دهیم که در حالت خاص اگر N=0 آن گاه را نابود ساز M می نامیم و آن را با نمایش می دهیم.
لم(68-2): (N:M) ایده آلی روی R است.
تعریف(69-2): فرض کنیم M یک R- مدول بوده و P ایده آل اول R باشد P را وابسته به M گوئیم هر گاه وجود داشته باشد و به طوری که . مجموعه همه ایده آلهای اول وابسته به M را با AssR(M) نمایش می دهیم.
فصل سوم:
خواص اساسی از زیر مدولهای اول
خواص اساسی از زیر مدولهای اول
(1-3) تعریف: فرض کنیم R یک حلقه و M یک -R مدول باشد. زیر مدول حقیقی N از -R مدول M را اول یا(-P اول) گوییم هر گاه برای هر r از R و برای هر m از M که داشته باشیم:
یا . به سادگی دیده می شود که P=(N:M) یک ایده آل اول است.
(2-3) تعریف: فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. N را جمعوند مستقیم M گوییم هر گاه برای بعضی زیر مدول N' از M .
(3-3) تعریف: فرض کنیم A یک دامنه صحیح و M یک -A مدول باشد. یک عضو را عضو تابدار گوییم اگر یعنی توسط عناصر غیرصفر A خنثی می شود. عضوهای تابدار M تشکیل زیر مدول از M می دهند. این زیر مدول که زیر مدول تابدار نام دارد با T(M) نشان داده می شود.
(4-3) تعریف: اگر T(M)=0 مدول M را مدول فارغ از تاب می نامیم.
(5-3) مثال: هر جمعوند مستقیم از یک مدول فارغ از تاب اول است. به ویژه هر زیر فضای حقیقی از یک فضای برداری اول است.
برهان: فرض کنیم M مدولی فارغ از تاب و N یک جمعوند مستقیم آن باشد لذا داریم: (K زیر مدول دلخواه M)
در نتیجه . فرض کنیم نتیجه می گیریم . از آنجایی که و متعلق به N هستند پس نیز متعلق به N می شود. همچنین پس . لذا
پس در نتیجه یعنی نتیجه می گیریم فرض کنیم . داریم لذا . M مدول فارغ از تاب است، پس .
لذا پس . لذا N زیر مدول اول است. به ویژه چون هر فضای برداری یک مدول فارغ از تاب است و هر زیر فضای آن نیز جمعوند مستقیم است پس هر زیر فضای یک فضای برداری اول است.
(6-3) تعریف: فرض کنیم M یک -R مدول باشد، زیر مدول N از M را محض گوییم هر گاه به ازای هر ، .
(7-3) نتیجه: زیر مدول حقیقی N از -R مدول فارغ از تاب M، محض است اگر و تنها اگر N اول باشد و N:M={0}.
برهان: فرض کنیم M یک -R مدول فارغ از تاب باشد لذا T(M)=0 و N زیر مدول حقیقی M باشد که محض است. پس داریم به ازای هر . نشان می دهیم N اول است. فرض کنیم و لذا پس
لذا
برای بعضی nهای متعلق به N
M مدول فارغ از تاب است پس r=0 لذا پس N زیر مدول اول است. حال نشان می دهیم N:M={0}. فرض کنیم متعلق به N:M باشد، آنگاه لذا . از طرفی پس rN=rM فرض کنیم لذا وجود دارد nای متعلق به N که rm=rn در نتیجه r(m-n)=0 و و M مدول فارغ از تاب است پس m-n=0 در نتیجه m=n پس ، از طرفی پس N=M که به تناقض می رسیم زیرا N زیر مدول حقیقی M است این تناقض ناشی از فرض نادرست پس N:M={0}.
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 77 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
