دانلود مقاله درباره ترکیبات و نظریه‌ی گراف

اختصاصی از فایل هلپ دانلود مقاله درباره ترکیبات و نظریه‌ی گراف دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 26

در این مقاله می خواهیم به دو مبحث بزرگ از ریاضیات گسسته با نامهای ترکیبات و نظریه‌ی گراف بپردازیم که در این دوران شاهد پیشرفت چشمگیر آنها می باشیم .

این دو مبحث بدلیل آنکه دارای کاربرد وسیعی در علم کامپیوتر و برنامه سازی های کامپیوتری می‌باشند حائز اهمیت فراوان می باشند .

1-ترکیبات :

شاید در نگاه اول ترکیبات یک بخش معماگونه و سطحی از ریاضیات به نظر برسد که دارای کاربرد چندانی نبوده و فقط مفهوم های انتزاعی را معرفی می کند ولی این شاخه از ریاضیات دارای گستره‌ی وسیع بوده و دارای شاخه های زیادی نیز می باشد .

ابتدا به مسأله ای زیبا از ترکیبات برای آشنا شدن بیشتر با این مبحث ارائه می کنیم .

سوال : یک اتاقی مشبک شده به طول 8 و عرض 8 داریم که خانه‌ی بالا سمت چپ و خانه‌ی پایین سمت راست‌ آن حذف شده است (مانند شکل زیر)

حال ما دو نوع موزاییک داریم . یکی 2*1 ( ) و دیگری 1×2 ( ) سوال این است که آیا می توان این اتاق را با این دو نوع موزائیک فرش کرد .

احتمالاً اگر شخص آشنایی با ترکیبات نداشته باشد می گوید «آری» و سعی می کند با کوشش و

خطا اتاق را فرش کند ولی این کار شدنی نیست ؟! و اثبات جالبی نیز دارد .

اثبات : جدول را بصورت شطرنجی رنگ می کنیم مانند شکل زیر :

حال با کمی دقت متوجه می شویم که هر موزائیک یک خانه از خانه های سیاه و یک خانه از خانه‌های سفید را می پوشاند یعنی اگر قرار باشد که بتوان با استفاده از این موزائیک ها جدول پوشانده شود باید تعداد خانه های سیاه با تعداد خانه های سفید برابر باشد ولی این گونه نیست زیرا تعداد خانه های سفید جدول برابر 32 و تعداد خانه های سیاه برابر 30 می باشد . در نتیجه این کار امکان امکان پذیر نیست .

این مسأله مربوط به مسائل رنگ آمیزی در ترکیبات بوده که دارای دامنه‌ی وسیعی از مسائل دشوار و پیچیده می باشد در زیر چند نمونه از مسائل آسان و سخت را بیان می کنیم .

1-ثابت‌کنید هیچ جدولی را نمی توان به موزائیک هایی به شکل و پوشاند .

(راهنمایی: ثابت کنید حتی سطر اول جدول را هم نمی توان پوشاند)

2-ثابت کنید یک مهره‌ی اسب نمی تواند از یک خانه‌ی دلخواه صفحه‌ی n*4 شروع به حرکت کند و تمام خانه ها را طی کند .

3-یک شبکه‌ی n*m از نقاط داریم یک مسیر فراگیر مسیری است که از خانه‌ی بالا سمت چپ

شروع به حرکت کرده و از همه‌ی خانه هر کدام دقیقاً یک بار عبور کند و به خانه‌ی سمت راست پایین برود ثابت کنید شرط لازم و کافی برای وجود یک مسیر فراگیر در شبکه‌ی n*m آن است که لااقل یکی از m یا n فرد باشد (مرحله‌ی دوم المپیاد کامپیوتر ایران) در شکل زیر یک مسیر فراگیر را برای جدول 5*4 می بینیم .

B

4-ثابت کنید شرط لازم کافی برای پوشش جدول n*m با موزائیک های 2*1 یا 1*2 آن است که یا m یا n زوج باشند .

حال می‌خواهیم یک مبحث مهم از ترکیبات به نام استقراء را معرفی کنیم.

استقراء بعنی رسیدن ازجزء به کل و هم ارز است با اصل خوشترتیبی زیر مجموعه‌ها( اصل خوشتربینی بیان می‌کند که هر مجموعه متناهی از اعداد عضوی به نام کوچکترین عضو دارد).

برای اثبات حکمی به کمک استقراء لازم است:

تحقیق درباره ی تحلیل مساله کوتاهترین مسیر در گراف جهت دار 10 ص

اختصاصی از فایل هلپ تحقیق درباره ی تحلیل مساله کوتاهترین مسیر در گراف جهت دار 10 ص دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 11

تحلیل مساله کوتاهترین مسیر در گراف جهت دار

اگر یک گراف جهت دار باشد فرض کنید هر لبه با وزن مشخص می گردد و هزینه رفتن مستقیم از گره i به j را مشخص میسازد بزودی الگوریتم دایجسترا را که برای یافتن کوتاهترین مسیر در گراف با وزن های مثبت کاربرد دارد را بیان میکنیم . در این بخش و بخش بعدی دو مساله مرتبط با گراف را بیان خواهیم کرد .

1 ) گراف G را در نظر بگیرید ( وزن دار ) اگر این گراف دارای سیکل منفی باشد آنگاه یک سیکل جهت دار c مثل :

2) اگر گراف شامل هیچ دوره ( سیکل‌)‌ منفی نباشد یافتن مسیری به نام p از گره آغازی s و گره پایانی t با کمترین هزینه : باید کمترین باشد به ازای هر مسیر از s به t . این مساله به هر دو نام مسیر با کمترین هزینه و کوتاهترین مسیر نامیده می شود .

طراحی و آنالیز الگوریتم :

اکنون با شروع تعریف مجدد الگوریتم دایجسترا که برای یافتن کوتاهترین مسیر در گراف هایی که وزن منفی ندارند شروع میکنیم .

در این گراف یک مسیر از s به t با ملاقات چندین دفعه دوره ( سیکل ) C بدست می آید .

کوتاهترین مسیر با شروع از گره آغازین s به هر نود v در یک گراف اصولا یک الگوریتم حریصانه است . ایده اصلی از یک مجموعه S تشکیل شده است که کوتاهترین مسیر از هر نود s به هر نود داخل مجموعه S شناخته شده است . در این شکل این الگوریتم را نشان می دهیم با شروع میکنیم . ما میدانیم کوتاهترین مسیر از s به s دارای هزینه صفر است زمانیکه هیچ لبه با وزن منفی نداشته باشیم . سپس این عنصر را به طور حریصانه به مجموعه اضافه میکنیم . در طی مرحله اول الگوریتم حریصانه ما کمترین هزینه لبه های گره s را تشکیل خواهیم داد . بعبارت دیگر یعنی : . یک نکته مهم با توجه به الگوریتم دایجسترا این است که کوتاهتری مسیر از s به v با یک یال نمایش داده می شود بنابراین بلافاصله نود v را به مجموعه S اضافه میکنیم . پس مسیر مسلما کوتاهترین مسیر به v است اگر هیچ یالی با هزینه منفی نداشته باشیم . مسیر های دیگر از s به v باید از یک یال خارج شده از s که حداقل هزینه بیشتری نسبت به لبه (s,v) داشته باشند شروع میشوند .

این ایده همواره صحیح نیست بویژه زمانی که دارای لبه های با وزن منفی هستیم .

یک ایده برنامه نویسی پویا :

یک روش برنامه نویسی پویا سعی بر حل این مساله برای یافتن کوتاهترین مسیر از s به t زمانیکه لبه با وزن منفی داشته باشیم اما سیکل ( دوره ) با طول منفی نداشته باشیم . زر مساله i می تواند کوتاهترین مسیر را تنها بوسیله استفاده از i گره اولیه پیدا کند . این ایده بلافاصله جواب نمی دهد بلکه با اعمال اندکی تغییرات جواب دلخواه را به ما میدهد . الگوریتم Bellman-Ford algorithm این الگوریتم را بوسیله برنامه نویسی پویا مطرح کرده و حل کرده اند .

(6.22)

اگر G دورهای منفی نداشته باشد؛‍‍‍ پس کوتاهترین مسیر ساده از S به t وجود دارد.(یعنی گره ها تکرار نمی شوند.) و از اینرو در نهایت n-1 یال دارد.

اثبات: تا زمانی که هر دور هیچ هزینه منفی نداشته باشد؛ کوتاهترین مسیر P از s به t با بیشترین تعداد از یالها هیچ راس v را مرور نمی کند. اگر P ؛ راس v را تکرار کند؛ ما می توانیم بخش مابین عبورهای متوالی از v را حذف کنیم. که این عمل هزینه کمینه و یال بیشینه را نتیجه می دهد.

اجازه دهید OPT(i,v) را برای تفکیک کمترین هزینه یک مسیر v-t با استفاده از بیشترین یال i مورد استفاده قرار دهیم. مطابق مساله (6.22) اصی ترین مشکل؛ محاسبه OPT(n-1.s) است.(ما می توانیم به جای ساخت الگوریتم؛ زیر مسائل مرتبط با کمینه هزینه مسیر s-v را با استفاده از بیشترین یالi جایگزین کنیم. این یک موازی طبیعی با الگوریتم دایجسترا شکل خواهد داد. اما در پروتوکل های مسیر یابی که بعدا شرح خواهیم داد؛ این یک روش طبیعی نخواهد بود.)

اکنون راه ساده ای را برای بیان OPT(i,v) با استفاده از زیرمسائل کوچکتر نیازداریم. ما دیداه طبیعی تری که نکات بسیاری حالات مختلف را در بر می گیرد را مرور خواهیم کرد؛ این مثال دیگری است از اصل

شبکه ها و تطابق در گراف

اختصاصی از فایل هلپ شبکه ها و تطابق در گراف دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

دانلود مقاله رشته ریاضی کاربردی با موضوع شبکه ها و تطابق در گراف

نوع فایل : Word 

تعداد صفحات : 49

رشته ریاضی کاربردی
شبکه ها و تطابق در گراف

فهرست مطالب

• مقدمه 
• فصل 1 
• شبکه ها 
• 1-1 شارش ها 
• 1-2 برش ها 
• 1-3 قضیه شارش ماکزیمم – برش مینیمم 
• 1-4 قضیه منجر 
• فصل 2 
• تطابق ها 
• 2-1 انطباق ها 
• 2-2 تطابق ها و پوشش ها در گراف های دو بخش 
• 2-3 تطابق کامل 
• 2-4 مسأله تخصبص شغل 
• منابع

شبکه ها
1-1 شارش ها
شبکه های حمل و نقل، واسطه‌هایی برای فرستادن کالاها از مراکز تولید به فروشگاهها هستند. این شبکه ها را می‌توان به صورت یک گراف جهت دار با یک سری ساختارهای اضافی درنظر گرفت و آن ها را به صورت کارآیی مورد تحلیل و بررسی قرار داد. این گونه گراف های جهت دار، نظریه ای را به وجود آورده اند که موضوع مورد بحث ما در این فصل می باشد. این نظریه ابعاد وسیعی از کاربردها را دربرمی‌گیرد.
تعریف 1-1 فرض کنیم N=(V,E) یک گراف سودار همبند بیطوقه باشد. N را یک شبکه یا یک شبکه حمل و نقل می‌نامند هرگاه شرایط زیر برقرار باشند:
(الف) رأس یکتایی مانند وجود دارد به طوری که ، یعنی درجة ورودی a، برابر 0 است. این رأس a را مبدأ یا منبع می‌نامند.
(ب) رأس یکتایی مانند به نام مقصد یا چاهک، وجود دارد به طوری که od(z)، یعنی درجة خروجی z، برابر با 0 است.
(پ) گراف N وزندار است و از این رو، تابعی از E در N، یعنی مجموعة اعداد صحیح نامنفی، وجود دارد که به هر کمان یک ظرفیت، که با نشان داده می‌شود، نسبت می‌دهد.
برای نشان دادن یک شبکه، ابتدا گراف جهت زمینه آن (D) را رسم کرده و سپس ظرفیت هر کمان را به عنوان برچسب آن کمان قرار می‌دهیم...

دانلود تحقیق کاربرد گراف درهوش مصنوعی

اختصاصی از فایل هلپ دانلود تحقیق کاربرد گراف درهوش مصنوعی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

مقدمه:

نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات است که درباره ی اشیاء خاصی درریاضی به نام گراف بحث می کند. به صورت شهودی گراف نمودار یا دیاگرافی است شامل تعدادی راس که با یالهایی به هم متصل شده اند. تعریف دقیق تر گراف به این صورت است که گراف مجموعه ای از راس هاست که توسط خانواده ای از زوج های مرتب که همان یالهاست به هم مرتبط شده اند. یالها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند که هر کدام در جای خود کاربرد بسیاری دارد. مثلا اگر صرفا اتصال دو نقطه مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آزاد راه مد نظر شما باشد کافیست آن دو شهر را با دو نقطه نمایش داده و اتوبان مزبور را یالی ساده نمایش دهید. اما اگر بین دو شهر جاده ای یکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن یالی جهت دار مسیر حرکت را در آن جاده مشخص کنید.
آغاز نظریه ی گراف به سده ی هجدهم بر می گردد. اویلر ریاضیدان بزرگ مفهوم گراف را برای حل مسئله ی پل های کونیگسربگ ابداع کرد، اما رشد و پویایی این نظریه عمدتا مربوط به نیم سده ی اخیر و با رشد علم داده ورزی (انفورماتیک) بوده است. مهمترین کاربرد گراف مدل سازی پدیده های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه ای عظیم را درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد و یا الگوریتم های مناسب مانند الگوریتم دایسترا یا الگوریتم کروسکال و.... را برروی آن اعمال نمود.
نظریه ی گراف یکی از پرکاربرد ترین نظریه ها در شاخه های مختلف علوم مهندسی (مانند عمران)، باستانشناسی (کشف محدوده ی یک تمدن) و هوش مصنوعی و.... است.
من در این تحقیق کاربرد گراف را در هوش مصنوعی که علم روز می باشد برگزیدم.

نظریهٔ مجموعه‌ها
شالودهٔ بنیادین و سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریف‌های دقیق جمیع مفاهیم ریاضی، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.
تاریخچه
نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش، تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تأثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریه مجموعه‌ها تعریف کنند. به عنوان مثال می‌توان از تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظامهای ریاضی، از قبیل توپولوژی، اساساً به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهم‌تر، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها،وضوح ودقتی تازه بخشیده است.
هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌ای آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به طور کلی نیاز به آشنایی عمومی با آنها دارد که هر کس که می‌خواهد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند.
نظریه طبیعی مجموعه‌ها
مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی همچون پارادکس راسل شد، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست زرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که منجر به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها انجامید.

شامل 44 صفحه word

دانلود مقاله کاربرد گراف در هوش مصنوعی

اختصاصی از فایل هلپ دانلود مقاله کاربرد گراف در هوش مصنوعی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

مشخصات این فایل
عنوان: کاربرد گراف در هوش مصنوعی 
فرمت فایل:word (قابل ویرایش)
تعداد صفحات: 41

این مقاله در مورد کاربرد گراف در هوش مصنوعی می باشد.

 

بخشی از تیترها به همراه مختصری از توضیحات مقاله کاربرد گراف در هوش مصنوعی

تاریخچه
نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش، تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تأثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریه مجموعه‌ها تعریف کنند. به عنوان مثال می‌توان از تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظامهای ریاضی، از قبیل توپولوژی، اساساً به...(ادامه دارد)

نظریه بازی ها (Game Theory)
روشهایی برای انتخاب بهترین گزینه، در حالی که پیش روی ما عواملی وجود دارد که مانع رسیدن ما به اهدافمان می شوند. در حالت خاص می توان به انتخاب بهترین حرکت در یک بازی دو یا چند نفره اشاره کرد. (مثل بازی های شطرنج که با کامپیوتر انجام می دهید.)...(ادامه دارد)

رباتیک (Robotics)
طراحی ربات های کامپیوتری (مکانیکی یا نرم افزاری) برای انجام وظیفه ای خاص. رشته های مختلفی می توانند در این زمینه درگیر باشند مانند مهندسی برق و مکانیک. اما برنامه ریزی و هوشمند ساختن ربات ها به عهده مهندسان کامپیوتر است. برای هوشمند ساختن ربات ها از الگوریتم های هوش مصنوعی مانند یادگیری، پردازش تصاویر، تشخیص گفتار و... استفاده می شود....(ادامه دارد)

آشنایی با ریاضیات پشت زمینه شبکه
چگونه اینترنت بسازیم؟در ساده ترین تعریف، گراف شامل تعدادی نقطه به عنوان راس و خطوطی است که این راسها را به هم وصل می کند. شاید ابتدا ارتباطی میان موجودی به نام گراف و پدیده ای به نام اینترنت پیدا نشود و اصلا شاید این پرسش مطرح شود که شیئی به نام گراف چه کاربردهایی می تواند داشته باشد؟
شاید تعجب برانگیز باشد، اما گرفا، نمودهای بسیار زیادی در عالم واقعیت دارد به صورت ساده تر می توان گفت هر مساله ای را که در آن تعدادی شیء و روابط میان آنها برای ما اهمیت داشته باشد می توان...(ادامه دارد)

هوش ازدحامی
هوش جمعی (Swarm Intelligence) نوعی روش هوش مصنوعی است که مبتنی بر رفتارهای جمعی در سامانه‌های نامتمرکز و خودسامانده بنیان شده است. این سامانه‌ها معمولاً از جمعیتی از کنشگران ساده تشکیل شده است که بطور محلی با یکدیگر و با محیط خود در تعامل هستند. با وجود اینکه معمولاً هیچ کنترل تمرکزیافته‌ای، چگونگی رفتار کنش‌گران را به آنها تحمیل نمی‌کند، تعاملات محلی آنها...(ادامه دارد)

الگوریتم کوچ پرستوها
روش PSO یک روش سراسری کمینه‌سازی است که با استفاده از آن می‌توان با مسائلی که جواب آنها یک نقطه یا سطح در فضای n بعدی می‌‌باشد، برخورد نمود. در اینچنین فضایی، فرضیاتی مطرح می‌شود و یک سرعت ابتدایی به آنها اختصاص داده می‌‌شود، همچنین کانال‌های ارتباطی بین ذرات درنظر گرفته می‌‌شود. سپس این ذرات در فضای پاسخ حرکت می‌کنند، و نتایج حاصله بر مبنای یک «ملاک شایستگی» پس از هر بازه‌ٔ زمانی محاسبه می‌شود. با گذشت زمان،...(ادامه دارد)

آشنایی با سیستم های عصبی
مدل‌های الکترونیکی شبکه‌های عصبی طبیعی نیز بر اساس همین الگو بنا شده‌اند و روش برخورد چنین مدل‌هایی با مسائل، با روش‌های محاسباتی که به‌طور معمول توسط سیستم‌های کامپیوتری در پیش گرفته شده‌اند، تفاوت دارد.
می‌دانیم که حتی ساده‌ترین مغز‌های جانوری هم قادر به حل مسائلی هستند که اگر نگوییم که کامپیوترهای امروزی از حل آنها عاجز هستند، حداقل در حل آنها دچار مشکل می‌شوند. به عنوان مثال، مسائل مختلف شناسایی الگو، نمونه‌ای از مواردی هستند که روش‌های معمول...(ادامه دارد)

هوش ماشینی و هوش انسانی
John McCarthy از جمله پیشروترین محققان در حوزه هوش مصنوعی است، ولی بیشتر شهرت وی به دلیل ابداع زبان LISP است که کاربرد گسترده‌ای را در حوزه هوش مصنوعی (AI) دارد. وی همچنین نخستین کسی است که به فکر استفاده اشتراک زمانی همه منظوره ازکامپیوترها  افتاد.
پروفسور جان مک‌کارتی در سال 1927 در بوستون متولد شد. وی درجه کارشناسی ارشد ریاضیات خود را در سال 1948 از انستیتو تکنولوژی کالیفرنیا دریافت کرد و با ادامه تحصیل در رشته ریاضیات، در سال 1951 مدرک دکترای خود را از دانشگاه پرنیستون اخذ نمود....(ادامه دارد)

بخشی از فهرست مطالب مقاله کاربرد گراف در هوش مصنوعی

مقدمه
نظریهٔ مجموعه‌ها
تاریخچه
نظریه طبیعی مجموعه‌ها
نظریهٔ اصل موضوعی مجموعه‌ها
 معماری کامپیوت
طراحی و ساخت مدارهای واسط
طراحی و ساخت سیستم های بلادرنگ
کنترل
میکروکنترل ها و سیستم های تعبیه شده
طراحی و ساخت مدارهای مجتمع در مقیاس بزرگ
 انتقال داده ها
سیستم های عامل
اتوماسیون ادار
برنامه نویسی همروند
الگوریتم های موازی
طراحی و ساخت کامپایلرها
 شبیه سازی کامپیوتری
محاسبات عددی
3.علوم کامپیوتر (Computer Science)
 ساختمان های گسسته (Discrete Structures)
...(ادامه دارد)