دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه: 89
فصل اول : کدهای بلوکی و کدهای کانولوشن
1-1- مقدمه :
امروزه دو نوع عمومی از کدها استفاده می شود : کدهای بلوکی و کدهای کانولوشن . انکدینگ یک کد بلوکی را به تر تیبی از اطلاعات در قالب بلوکهای پیغام از k بیت اطلاعات برای هر کدام تقسیم می کند . یک بلوک پیغام با k مقدار باینری که بصورت u=(u1,u2,…,uk) نشان داده می شود ، یک پیغام نامیده می شود . در کدینگ بلوکی از سمبل u جهت نشان دادن k بیت پیغام از کل ترتیب اطلاعات استفاده می گردد .
تعداد کل بیت های پیغام متفادت موجود پیغام است . انکدر هر پیغام u را بطور غیر وابسته ، بصورت یک n تایی v=(v1,v2,…,vn) که کلمه کد (codeword) نامیده می شود ، ارسال می دارد . در کدینگ بلوکی سمبل v برای مشخص کردن سمبل بلوک از کل ترتیب انکد شده استفاده می گردد .
از پیغام قابل ساخت ، کلمه کد مختلف در خروجی انکدر قابل ایجاد است . این مجموعه کلمات کد با طول n یک کد بلوکی (n,k) نامیده می شود. نسبت R=k/n نرخ کد نامیده می شود . نرخ کد می تواند تعداد بیتهای اطلاعات که انکد می شود را در هر سمبل انتقال یافته ،محدود کند . در حالتیکه n سمبل خروجی کلمه کد که فقط به k بیت ورودی پیغام وابسته باشد ، انکدر را بدون حافظه (memory-less) گویند . انکدر بدون حافظه با ترکیبی از مدارات لاجیک قابل ساخت یا اجرا است . در کد باینری هر کلمه کد v باینری است . برای اینکه کد باینری قابل استفاده باشد ، بعبارت دیگر برای داشتن کلمات کد متمایز باید یا باشد . هنگامیکه k<n باشد ، n-k بیتهای افزونگی (redundant) می تواند به بیتهای یک پیغام اضافه گردد و کلمه کد را شکل دهد . این بیتهای اضافه شده توانایی کد را در مبارزه با نویز کانال فراهم می آورد . با نرخ ثابتی از کد ، بیت های افزونگی بیشتری را می توان با افزایش دادن طول بلوک n از کد ، با پیغام جمع کرد و این تا هنگامی است که نسبت k/n ثابت نگه داشته شود .
چگونگی انتخاب بیت های افزونگی تا اینکه ارسال قابل اطمینانی در یک کانال نویزی داشته باشیم از اصلی ترین مسائل طراحی یک انکدر است . انکدر یک کد کانولوشن نیز به همان ترتیب ، k بیت بلوکی از ترتیب اطلاعات u را می پذیرد و ترتیب انکد شده ( کلمه کد ) v با n سمبل بلوکی را می سازد . باید توجه کرد که در کدینگ کانولوشن سمبل های u و v جهت مشخص کردن بلوکهای بیشتر از یک بلوک استفاده می گردند . بعبارت دیگر هر بلوک انکد شده ای نه تنها وابسته به بلوک پیغام k بیتی متناظرش است ( در واحد زمان ) بلکه همچنین وابسته به m بلوک پیغام قبلی نیز می باشد . در این حالت انکدر دارای حافظه(memory ) با مرتبه m است .
محصول انکد شده ترتیبی است از یک انکدر k ورودی ، n خروجی با حافظه مرتبه m که کد کانولوشن (n,k,m) نامیده می شود . در اینجا نیز R=k/n نرخ کد خواهد بود و انکدر مذکور با مدارات لاجیک ترتیبی قابل ساخت خواهد بود . در کد باینری کانولوشن ، بیت های افزونگی برای تقابل با کانال نویزی می تواند در حالت k<n یا R<1 به ترتیب اطلاعات اضافه می گردد .
معمولاً k و n اعداد صحیح کوچکی هستند و افزونگی بیشتر با افزایش مرتبه حافظه از این کدها بدست می آید . و از این رو k و n و در نتیجه R ثابت نگه داشته می شود .
اینکه چگونه استفاده کنیم از حافظه تا انتقالی قابل اطمینان در یک کانال نویزی داشته باشیم ، از مسائل مهم طراحی انکدر ها محسوب می شود .
1-2- ماکزیمم احتمال دیکدینگ Maximum Likelihood Decoding
یک بلوک دیاگرام از سیستم کد شده در یک کانال AWGN با کوانتیزاسیون محدود خروجی در شکل 1 نشان داده شده است :
در این سیستم خروجی منبع u نشاندهنده پیغام k بیتی ، خروجی انکدر ، v نشاندهنده کلمه کد n- سمبلی خروجی دیمدولاتور ، r نشاندهنده آرایه Q دریافت شده n تایی متناظر و خروجی دیکدر نشاندهنده تخمینی از پیغام انکد شده k بیتی است . در سیستم کد شده کانولوشن ، u ترتیبی از kl بیت اطلاعات و v یک کلمه کد است که دارای N=nl+nm=n(l+m) سمبل می باشد . kl طول ترتیب اطلاعات و N طول کلمه کد است . سرانجام nm سمبل انکد شده بعد از آخرین بلوک از بیتهای اطلاعات در خروجی ایجاد می گردد . این عمل در طول m واحد زمانی حافظه انکدر انجام می پذیرد . خروجی دی مدولاتور ، r یک N تایی دریافت شده Q- آرایه ای است و خروجی یک تخمین از ترتیب اطلاعات می باشد. در واقع دیکدر می بایستی یک تخمین از ترتیب اطلاعات u براساس ترتیب دریافت شده r تولید نماید . پس یک تناظر یک به یک بین ترتیب اطلاعات u و کلمه کد v وجود دارد که دیکدر بر این اساس می تواند یک تخمین از کلمه کد v بدست آورد . روشن است که در صورتی است ، اگر و فقط اگر .
قانون دیکدینگ (یا برنامه دیکدینگ ) در واقع استراتژی انتخاب یک روش تخمین ، جهت تخمین کلمه کد از هر ترتیب دریافت شده ممکنr است . اگر کلمه کد v فرستاده شده باشد ، یک خطای دیکدینگ رخ داده است اگر و فقط اگر .
با دریافت r ، احتمال خطای شرطی دیکدر بصورت زیر تعریف می گردد : (1)
پس احتمال خطا دیکدر : (2) بدست می آید .
P(r) وابسته به قانون دیکدینگ نمی باشد . از این رو یک دستورالعمل دیکدینگ بهینه یعنی با حداقل P(E) باید را برای تمام مقادیر R به حداقل برساند .
به حداقل رسانیدن به مفهوم به حداکثر رسانیدن است . توجه گردد که اگر برای یک r دریافت شده با احتمال ماکزیمم انتخاب کردن ( تخمین ) از کلمه کد v به حداقل می رسد : (3) که شبیه ترین کلمه از r دریافت شده است . در صورتیکه تمام ترتیبات اطلاعات و درپی آن تمام کلمات کد مشابه باشند ، ( یعنی P( r ) برای تمام v ها یکسان باشد ) حداکثر کردن رابطه 3 معدل حداکثر کردن P(r|v) است . و برای یک DMC(Discrete memoryless channel) داریم : (4) .
باید توجه داشت که برای یک کانال بدون حافظه هر سمبل دریافت شده فقط به سمبل فرستاده شده متناظرش وابسته است . یک دیکدر که روش تخمینی جهت ماکزیمم کردن رابطه 4 انتخاب کند ، دیکدر با حداکثر احتمال نامیده می شود . MLD(Maximum Likelihood Decoder) - ماکزمم کردن رابطه 4 معادل ماکزمم کردن تابع احتمال لگاریتمی زیر است : (5) بنابراین یک MLD برای یک DMC یک را بعنوان تخمینی از کلمه کد v برگزیند که رابطه 5 ماکزیمم گردد . درصورتیکه کلمات که معادل نباشد ، MLD لزوماً بهینه نمی گردد.
دراین حالت احتمالات شرطی P(r|v) باید بوسیله احتمالات کلمات کد P ( r) وزن داده شود تا مشخص گردد که کدام کلمه کد P(v|r) را ماکزیمم می کند .
اکنون مشخصه های MLD در یک BSC (Binary systematic Channel) مورد بررسی قرار می گیرد . در این حالت r یک ترتیب باینری است که بغلت نویزی بودن کانال ممکن است از کلمه کد انتقال یافته v در بعضی موقعیت ها متفاوت باشد .
وقتی و بالعکس وقتی در نظر می گیریم . d(r,v) را فاصله بین rوv ( یعنی تعداد موقعیت های متفاوت بین rو v ) در نظر می گیریم . برای یک طول n یک کد بلوکی رابطه 5 بشکل زیر در می آید : (6)
. توجه گردد که برای کد کانولوشن n در رابطه 6 با N بزرگ جایگزین می گردد .
در صورتیکه را برای P<1/2 و ثابت برای تمام v ها ، در نظر بگیریم ، قاعده دیکدینگ MLD برای BSC ، را بعنوان کلمه کد v انتخاب می کند که فاصله d(r,v) را بین rوv به حداقل برساند . بعبارت دیگر کلمه کدی را انتخاب می کند که در تعداد کمتری از موقعیتها از ترتیب دریافت شده ، متفاوت باشد . برای همین یک MLD برای BSC یک دیکدر با حداقل فاصله نامیده می شود .
تحقیقات Shannon در رابطه به بررسی توانایی کانال نویزی در ارسال اطلاعت تئوری کدینگ کانال نویزی را حاصل کرد و بیان می دارد که هر کانال دارای یک ظرفیت کانال C است و برای هر نرخ R<C ، کدهای ایجاد شده با نرخ R با دیکدینگ ماکزیمم احتمال ، دارای کمترین احتمال خطای دیکدینگ P(E) است . در عمل برای هر R<C برای کدهای بلوکی با طول n داریم : (7) و برای کدهای کانولوشن با حافظه m : (8) می باشد .
که طول اجباری کد نامیده می شود . و توابع مثبتی از R برای R<C هستند . که با پارامترهای کانال مشخص می گردند . مزر رابطه 7 بطور قرار دادی براین مطلب دلالت دارد که احتمالات خطای کوچک با کدینگ بلوکی R<C ثابت با افزایش طول n بلوک درحالتیکه نرخ k/n ثابت بماند ، بدست می آید . مرز رابطه 8 بیان می دارد که احتمالات خطای کوچک برای هر R<C ثابت ، با افزایش طول یعنی با افزایش مرتبه حافظه m مادامیکه k و n ثابت باشند قابل دست یابی است . تئوری کدینگ کانال نویزی بر پایه یک استدلال ، کدینگ رندم نامیده می شود .
مرزهای بنا نهاده شده در واقع بر اساس احتمال خطای متوسط از مجموعه تمام کدها بدست می آید . مادامیکه کدها بهتر از حد متوسط شکل گیرند ، تئوری کدینگ کانال نویزی ، وجود کدها را در مرزبندی روابط 7 و 8 تضمین می نماید اما بیان نمی دارد که این کدها چگونه ساخته شوند .
برای دست یافتن به احتمالات خطای خیلی کمتر برای کدهای بلوکی با نرخ ثابت R<C طول های خیلی بزرگ از آن احتیاج است و در پی آن باید کلمات کد خیلی بزرگ باشد . و بعبارت دیگر هنگامیکه برای یک MLD باید برای هر کد آن LogP(r|v) محاسبه گردد . سپس کلمه کدی که ماکزیمم باشد ، انتخاب گردد ، تعداد محاسبات برای شکل دادن یک MLD بسیار زیاد خواهد شد . برای کدهای کانولوشن ، احتمالات خطای کوچک به یک مرتبه m حافظه بزرگ محتاج است .
یک MLD برای کدهای کانولوشن به تقریباص محاسبه برای دیکد کردن هر بلوک از k بیت اطلاعات احتیاج دادرد و این محاسبات با افزایش m زیاد می شود . از این رو با استفاده از دیکدینگ با ماکزیمم احتمال جهت دستیابی به احتمالات خطای پائین غیر عملی به نظر می رسد . لذا دو مشکل اساسی جهت دستیابی به احتمالات خطای پائین مورد نیاز است :
- ساخت کدهای طولانی خوب با استفاده از دیکدینگ ماکزیمم احتمال که مرزهای روابط 7 و 8 را ارضا کند .
- یافتن روشهای اجرایی ساده جهت انکدینگ و دیکدینگ این کدها .
تعریف 1 : کدهای همینگ : کدهایی هستند که می توانند یک خطا را تصحیح کنند و دارای مشخصات زیر می باشند (به ازاء هر عدد صحیح ) : 1- طول کد : 2- تعداد بیت های پیغام : 3- تعدا بیت های پریتی : 4- این کدها قدرت تصحیح یک خطا را دارند :
1-3- انواع خطا Type of error
در کانالهای بدون حافظه ، نویز بر هر سمبل ارسال شده بدون وابستگی اثر می گذارد . بعنوان مثال در یک BSC هر بیت انتقال یافته دارای احتمال P از دریافت شده های غیر صحیح و 1-P از دریافت شده های صحیح است که غیر وابسته به سایر بیتهای ارسال شده می باشد . از این رو خطا ها بصورت رندم در ترتیب دریافت شده رخ می دهد و بنابراین کانالهای بدون حافظه کانالهای با خطای رندم نامیده می شوند .
مثال خوبی از این کانالها کانالهای ماهواره ای و کانال های با فضای ایستاده است . در واقع اکثر انتقالات به خط مستقیم دارای خطا های رندم هستند . کدهایی که جهت تصحیح خطاهای رندم تعبیه می شوند ، کدهای تصحیح خطای رندم نامیده می شوند .
شکل2- دیاگرام احتمال گذار a- کانال سیستماتیک باینری b – کانال بدون حافظه گسسته
با کانالحافظه دار ، نویز غیر وابسته از انتقالی به انتقال دیگر نمی باشد . یک مدل ساده از کانال حافظه دار در شکل 3 نشان داده شده است . این مدل شامل دو حالت است . یک حالت خوب که در هر انتقال خطاها بطور غیر تکراری رخ می دهد . و و یک حالت بد که در هر انتقال خطاها دارای ماکزیمم احتمال است . کانال در اکثر موارد در حالت خوب است اما در حالت شیفت به حالت بد در مواقع تغییر پارامترهای انتقال کانال ( مثلاً در حالت محوشوندگی عمیق که در اثر چند مسیرگی رخ می دهد ) ، انتقال خطاها در دسته ها (cluster)و ازهم پاشیدگی ها (burst) رخ می دهد که علت آن افزایش احتمال گذر در حالت بد است و کانال های با حافظه ، کانالهای دارای خطای از هم پاشیدگی (burst) نامیده می شوند .
مثالهایی از کانالهای دارای خطای برست ، کانالهای رادیویی است که این خطا سبب محوشوندگی سیگنال درطول انتقال چند مسیره می گردد . محوشوندگی همچنین ممکن است در سیم یا کابل انتقال در اثر نویز سوئیچینگ یا مکالمه متقابل ایجاد می گردد . کدهایی که جهت تصحیح این نوع خطاها بکار می رود به کدهای تصحیح کننده خطای برست معروفند (burst-error correcting codes) سرانجام بعضی از کانالهای ترکیبی از هر دو خطای رندم و از هم پاشیدگی را دارا هستند و کانالهای مرکب نامیده می شوند و کدهای تصحیح کننده این نوع خطا ها نیز کدهای تصحیح کننده خطای برست – رندم نامیده می شوند .
شکل3- مدل ساده ای از یک کانال با حافظه
1-4- راه کارهای کنترل خطا Error control Strategies
بلوک دیاگرام نشان داده شده در شکل 4 یک سیستم یک مسیره را نشان می دهد . این ارتباط در واقع در یک جهت از فرستنده به گیرنده است
. کنترل خطا برای یک سیستم یک مسیره با استفاده از تصحیح خطای رو به جلو FEC(Forward Error Correction) انجام می پذیرد که بطور اتوماتیک خطاهای آشکار شده در گیرنده را تصحیح می کند .
مانند سیستم های ارتباطی فضایی که تجهیزات انکدینگ ساده ای می تواند روی بدنه فضاپیما قرار داده شود اما تجهیزات انکدینگ پیچیده ای روی ایستگاه زمینی قرار داده می شود . بیشتر سیستم های کد کننده امروزی از فرمهای مختلفی از FEC استفاده می کنند ، حتی در مواردیکه سیستم یک مسیره نیست .
در موارد دیگری یک سیستم ارسال می تواند دو مسیره باشد . بدین معنا که اطلاعات می تواند در هر دو جهت ارسال گردد و فرستنده نیز مانند یک گیرنده عمل کند ( ارسال و دریافت کننده transceiver)
مثالهایی از این نوع سیستم ها مانند کانالهای تلفنی و بعضی ارتباطات ماهواره ای می باشد . کنترل خطا برای یک سیستم دو مسیره می تواند با استفاده از آشکارسازی خطا و دوباره ارسال صورت پذیرد. که به آن تکرار تقاضای اتوماتیک ARQ(Automatic Repeat Request) می گویند . در یک سیستم ARQ هنگامیکه خطاها در گیرنده آشکار می شود ، یک تقاضا برای تکرار پیغام به فرستنده ارسال می گردد و این مادامی است که پیغام بطور صحیح دریافت شده باشد . دو نوع سیستم ARQ وجود دارد : ARQ با حالت توقف – انتظار و ARQپیوسته .
با حالت اول ، فرستنده یک کلمه کد را به گیرنده می فرستد و منتظر می ماند تا یک پاسخ (acknowledg) مثبت (ACK) یا منفی (NAK) از گیرنده دریافت کند . درصورتیکه (ACK) دریافت شد ، مفهوم آن این است که هیچ خطایی در گیرنده آشکار نشده است و فرستنده کلمه بعدی را ارسال می کند .
اگر NAK دریافت شود مفهوم آن این است که در گیرنده خطا آشکار شده است و فرستنده همان کلمه کد را دوباره می فرستد . با وجود نویز این دوباره ارسال کردن ها ممکن است چندین بار تکرار گردد .
با ARQ پیوسته ، فرستنده کلمات را بطور پیوسته می فرستد و گیرنده نیز پاسخ را بطور پیوسته ارسال می کند . با دریافت یک NAK فرستنده شروع به دوباره ارسال می کند . در این حالت ممکن است یک کلمه کد را به خطا برگرداند و دوباره بفرستد . این حالت را GO – BACK-NARQ می نامند .
همچنین درحالتی ممکن است فرستنده کلمه کدی که NAK داشته است را دوباره ارسال نماید . که این حالت به Selective-Request ARQ نامیده می شود . ARQ با تکرار حساس موثرتر از حالت قبل است اما به مدارات لاجیک و بافر بیشتری احتیاج دارد.
در کل ARQ حالت پیوسته از ARQ توقف – انتظار موثر تر است اما در عین حال گرانتر می باشد . در ارتباطات ماهواره ای که نرخ ارسال و نیز تاخیر آن طولانی است ، ARQ حالت پیوسته بطور نرمال استفاده می شود و ARQ حالت توقف – انتظار در سیستمی بکار می رود که زمان ارسال کلمه کد طولانی تر از زمان دریافت پاسخ باشد و بیشتر برای کانال های HALF-DUPLEX و ARQ پیبوسته بیشتر برای کانال های FULL-DUPLEX بکار می روند .
مزیت مهم ARQ بر FEC این است که آشکار سازی خطا به تجهیزات دیکدینگ ساده تری از تصحیح خطا نیاز دارد . همچنین ARQ در دوباره ارسال کردن اطلاعات هنگامیکه خطایی رخ می دهد ، حساسیت بیشتری دارد . بعبارت بهتر هنگامیکه نرخ خطای کانال بیشتر باشد ، ددوباره ارسال با تکرار بیشتری باید انجام پذیرد .و در این حالت ARQ دارای تاثیر کمتری می شود . در این موارد ترکیبی از FEC و ARQ تاثیر بیشتری دارد که به روشهای Hybrid معروف است .
تعریف2 : سیندرم و تشخیص خطا : یک کد بلوکی(n,k) که ماتریس پریتی چک آن ، H باشد ، فرض می گیریم . اگر یک کلمه کد از این کد روی کانال ارسال گردد ، کلمه دریافتی بصورت ذیل است : ( r کلمه دریافتی ، u کلمه ارسالی و e بردار خطا است ) در این روش تعداد کد خطا قابل تشخیص است . و داخل این پترن ها ، تمامی پترن هایی که d-1 یا کمتر خطا باشد ، قرار می گیرد. عمل تشخیص خطا توسط سیندرم صورت می پذیرد : . اگر (یعنی کلمه کد مجاز باشد ) خواهیم داشت : S=0 و در غیر اینصورت : . پس جهت تشخیص داریم : 1- به ازای کلمه دریافتی سیندرم محاسبه می شود 2- اگر خطا اعلام می شود و در غیر اینصورت خطا وجود ندارد و یا قابل تشخیص نیست .
تعریف 3- کد های چرخشی : چند جمله ای مولد این کد ها : . اگر چند جمله ای پیغام باشد ، در اینصورت کلمه کد با چند جمله ای مولد مذکور ، قابل تولید است .
1-5- بررسی کدهای تصحیح کننده خطای برست (از هم پاشیدگی) Burst –Error – Correcting Codes
همانگونه که ذکر گردید کانالهایی وجود دارد که تحت تاثیر اختلالات دسته ای (cluster) و ازهم پاشیدگی (burst) هستند .
مثلاً در خطوط تلفن یک ضربه یا اختلال الکتریکی ممکن است باعث ایجاد خطاهای گروهی می گردد .
و در این حالت کدهای تصحیح کننده خطای رندم موثر نمی باشد . کدهای چرخشی در آشکار سازی و تصحیح خطای برست موثراند . از جمله این کدها کدهای آتشی (Fire Codes) است .
- معرفی : یک برست با طول l بعنوان یک بردار تعریف می گردد که اجزاء غیر صفر آن به l موقعیت دیجیت های متوالی منحصر شده اند و اولین و آخرین آن غیر صفر است . مثلاً بردار خطای e=(000010110100000) یک برست با طول 6 را مشخص می کند . یک کد خطی که توانایی تصحیح تمام خطاهای برست با طول l یا کمتر را داشته باشد اما تمام خطاهای برست با طول l+1 را نتواند تصحیح کند ، به این چنین کدی ، کد تصحیح کننده برست l گویند و یا کدی که دارای توانایی تصحیح l خطای برست است . روشن است که برای کد (n,k) با l تصحیح خطای برست ، n-k افزونگی قابل اضافه کردن است .
تئوری 1 - یک شرط لازم برای کدهای خطی (n,k) که بتواند تمام خطاهای برست با طول l یا کمتر را تصحیح کند این است که هیچ برستی با طول 2l یا کمتر نتواند یک بردار کد را حاصل کند.
تئوری 2 – تعداد دیجیت های پریتی چک یک کد خطی (n,k) که دارای برست با طول b یا کمتر بعنوان یک بردار کد نباشد ، حداقل b است . یعنی است .
از تئوری های 1 و 2 در می یابیم که محدودیتی روی تعداد دیجیتهای پریتی چک یک کد تصحیح خطای برست l وجود دارد .
تئوری3- تعداد دیجیت های پریتی چک یک کد تصحیح خطای برست l باید حداقل 2l باشد که داریم : (9) .
تئوری 3 نشان می دهد که توانایی تصحیح خطای برست یک کد (n,k) حداکثر [(n-k)/2] است . پس (10) است .
این مرز فوقانی توانایی تصحیح خطای برست است و مرز Reiger نامیده می شود . و کدهایی که به این مرز برسند بهینه هستند . نسبت (11) z=2l/(n-k) بعنوان معیاری جهت اندازه گیری کارایی تصحیح خطای برست توسط کد استفاده می گردد . یک کد optimal ( بهینه ) دارای z=1 است . باید متذکر شویم که درصورت تصحیح تمام خطاهای برست با طول l یا کمتر و نیز آشکارسازی تمام خطاهای برست توسط کد (n,k) ، تعداد دیجیتهای پریتی چک باید حداقل l+d باشد .
1-6-دیکدینگ کدهای چرخشی تصحیح کننده خطای برست تکی
decoding of Single-Burst-error-Correcting Cyclic Codes
این کدها بسادگی با تکنیک تله گذاری خطا (trapping) قابل دیکد هستند . فرض شود که کلمه کد v(x) از یک چرخشی
n,k)) با تصحیح خطای برست l انتقال یافته است . درصورتیکه r(x) و e(x) به ترتیب بردارهای دریافت شده و خطا باشند ،
سیندرم r(x) است .
اگر خطاها در e(x) به موقعیت دیجیتهای پریتی چک با مرتبه بالا l محدود گردد و چنانچه از r(x) ، سپس دیجیت های سیندرم با مرتبه بالای l ، با خطاهای e(x) سازگار است . و n-kl دیجیت سیندرم مرتبه پائین ، صفر خواهد بود .
فرض کنید خطاها در e(x) به موقعیت های از r(x) ، محدود باشد . ( شامل مواردی در حوالی انتها ) سپس بعد از تعداد مشخص از شیفت های چرخشی r(x) ، i شیفت چرخشی ، خطاها در موقعیت های از شیفت یابند که iامین شیفت از r(x) است .
این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
